Barrapunto

Método de Newton y Aproximaciones sucesivas son dos métodos numéricos diferentes, no los confundáis. Aquí os explico como aplicar el método de Newton a las raíces cuadradas. En principio no se necesita calculadora, sólo saber operar con fracciones.

Para calcular la raíz cuadrada de un numero k se resuelve la ecuación x^2-k=0 o lo que es lo mismo, calcular los ceros de la función y(x)=x^2-k.

Con el MÉTODO DE NEWTON el algortimo es:

    x(i+1)=x(i)-(y/y')=0.5*( x(i) + (k / x(i)) )

Este método funciona muy bien al ser de orden cuadrático si se eligen un valor inicial para i=0 inteligente.

Ejemplo para k=5

x(0)=2;
x(1)=9/4 = 2.2500
x(2)=161/72 = 2.2361

Y raiz de 5 es 2.236067978...

Con dos iteraciones obtenemos un valor cojonudo.

Si no me creéis aquí dejo otro ejemplo para k=12345

x(0)=100;
x(1)=4469/40 = 111.7250
x(2)= ..... = 111.1097

Y raiz de 12345 es 111.1081...

Con sólo un par de iteraciones obtenemos un valor nada malo.

ademas se puede disponer de una cota previa del error si la cota de la derivada de función de iteración del método(k) es menor que uno en el intervalo deseado
 
error = k^n/1-k n=nº de iteraciones;
por otra parte tambien vale para predecir el nº de iteraciones necesarias para obtener una solucion afectada por el error deseado